আইনস্টাইনর ভর-শক্তির সমীকরণহান প্রতিপাদন

গিরক আলবার্ট আইনস্টাইন আইনস্টাইনর ভর শক্তির সমীকরণহান $E=mc^{2}$ প্রতিপাদন হান এসাদে ঃ
মনে করিক , $m$ ভর বিশিষ্ট কোন মাল(matter) আগো $v$ বেগ অহান্ন গতিশীল অয়া যারগা । যদি অহানই ইয়াথার অতাইলে মাল অগোর ভরবেগ অরতা $m\mathbf {v}$ । কিন্তু নিউটনর গতির তৃতীয় সূত্র অহাত্ত আমি পারাঙতা ,
$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

এহাৎ $a$ ইলতায় ত্বরণ । আর ত্বরণর সংজ্ঞানুসারে আমি পারাঙতা, আকখুলা সময় আহাত মাল অহানে পাড় অসে দূরত্ব অহানরে ত্বরণ মাতানি অকরের । অতাইলে ত্বরণ, $da={\frac {dv}{dt}}$
ত্বরণর সমীকরণ অহান বহিয়া এপাগা লেখানি পাররাঙতাই ,
বা, $\mathbf {F} =m\cdot {\frac {dv}{dt}}$
বা, $\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}.\mathbf {(mv)}$
বা, $\mathbf {F} =m{\frac {d}{dt}}\cdot v+{\frac {d}{dt}}\cdot m$....................(১)
যদি মাল অগোর গজে $\mathbf {F}$ বল প্রয়োগ করানি অর অতাইলে মাল অহার সরণ অরতা $\mathbf {dx}$ । অতএব, কৃতকাজ,

$dE_{k}=\mathbf {F} \cdot dx,$

আরাকমু আমি হারপাসিতাই , সময়র লগে মাল অহার সরণর শিঙনা শিঙনির হার অহানরে বেগ মাততারা । অতাইলে,
$dv={\frac {dx}{dt}}$
এপাগা সমীকরণঅহাত বেগর মানহান বহিয়া পারাঙতা ,
বা, $dE_{k}=(m\cdot {\frac {d}{dt}}\cdot v+v\cdot {\frac {d}{dt}}\cdot m)dx,$
বা, $dE_{k}=m\cdot {\frac {dx}{dt}}\cdot (dv)+{\frac {dx}{dt}}\cdot (dm)$
বা, $dE_{k}=mv\cdot dv+v^{2}\cdot dm$...................(২)
এপাগা লরেঞ্জর রুপান্তর(Lorentz Transformation) অহাত্ত পারাঙতা ,

$m={\frac {m_{o}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},$
বা, $m^{2}={\frac {m_{o}^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
বা, $m^{2}={\frac {m_{o}^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$
বা, $m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{o}^{2}c^{2}$
বা, ${\frac {d}{dt}}\cdot (m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2})={\frac {d}{dt}}\cdot (m_{o}^{2}c^{2})$
বা, $2mc^{2}{\frac {dm}{dt}}-2mv^{2}{\frac {dm}{dt}}=2vm^{2}{\frac {dv}{dt}}$
বা, $2mc^{2}{\frac {dm}{dt}}-2mv^{2}{\frac {dm}{dt}}-2vm^{2}{\frac {dv}{dt}}=0$
বা, ${\frac {1}{dt}}(2mc^{2}\cdot dm-2mv^{2}\cdot dm-2vm^{2}\cdot dv)=0$
বা, $2mc^{2}\cdot dm-2mv^{2}\cdot dm-2vm^{2}\cdot dv=0$
বা, $2m(c^{2}\cdot dm-v^{2}\cdot dm-vm\cdot dv)=0$
বা, $c^{2}\cdot dm-v^{2}\cdot dm-vm\cdot dv=0$
বা, $c^{2}\cdot dm=mv\cdot dv+v^{2}\cdot dm$
বা, $dmc^{2}=dE_{k}$..................(৩) [$mv\cdot dv+v^{2}\cdot dm=dE_{k}$]

(৩) নং সমীকরণ অহানরে সমাকলন(Integration) করিয়া পারাঙতা ,
$c^{2}\int _{m_{o}}^{m}\cdot dm=\int _{0}^{E_{k}}\cdot dE_{k}$
বা, $c^{2}[dm]_{m_{o}}^{m}=[E_{k}]_{0}^{E_{k}}$
বা, $c^{2}(m-m_{o})=E_{k}-0$
বা, $E_{k}=mc^{2}-m_{o}c^{2}$
আমি হারপাসিতা , কোন মাল আগোর স্থির ভর শক্তি $E_{p}=m_{o}c^{2}$ । কারণ, ইঙ্গ ইয়া থাকরেকুরা কোন মাল আগোর বেগ আপেক্ষিকতা অনুসারে $m_{o}$ । কিন্তু 0 নাবে । তাইলে ,
মোট শক্তি, $E=E_{k}+E_{p}$ বা, $E=mc^{2}-m_{o}c^{2}+m_{o}c^{2}$
$E=mc^{2}$

অতায়া, আমি ভর শক্তির নিত্যতার সূত্রহান প্রমাণিত করলাঙ।